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Die Blog-Postings sind Kommentare im Sinne von § 6 Abs. 1 MStV. Der Verfasser ist Jörn Loviscach, falls jeweils nicht anders angegeben. Die Blog-Postings könnten Kraftausdrücke, potenziell verstörende Tatsachenbehauptungen und/oder Darstellungen von Stereotypen enthalten. Die Beiträge der vergangenen Wochen werden als Bestandteil der Internet-Geschichte in ihrer ursprünglichen Form gezeigt. Menschliche Autor*innen können unzutreffende Informationen über Personen, Orte oder Fakten liefern.
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2023-03-07 10:11
Warum habe ich das nicht eher ausprobiert? Den Leser*innen sei überlassen, etwaige Fehler zu finden.
Vereinfache den Ausdruck $\frac{a^3-ab^2}{a^2+ab}$ und gib dabei den Rechenweg an!
Um den Bruch zu vereinfachen, können wir zunächst den gemeinsamen Faktor $a$ aus Zähler und Nenner kürzen:
$$\frac{a^3-ab^2}{a^2+ab}=\frac{a(a^2-b^2)}{a(a+b)}$$
Dann können wir den Faktor $(a^2-b^2)$ im Zähler als Differenz zweier Quadrate schreiben und kürzen:
$$\frac{a(a^2-b^2)}{a(a+b)}=\frac{a(a+b)(a-b)}{a(a+b)}=a-b$$
Daher ist die vereinfachte Form des Ausdrucks $a-b$.
Finde alle reellen Zahlen $x$, die $\bigl(5+\log_{10}(x)\bigr)^3 = 8$ erfüllen!
Zunächst können wir die Gleichung umformen, um den Ausdruck in der Klammer zu isolieren:
$$\bigl(5+\log_{10}(x)\bigr)^3=8$$
$$(5+\log_{10}(x))^3=2^3$$
$$5+\log_{10}(x)=2$$
$$\log_{10}(x)=-3$$
$$x=10^{-3}=\frac{1}{1000}$$
Also ist die einzige reelle Lösung der Gleichung $x=\frac{1}{1000}$.
Bestimme alle komplexen Zahlen $z$, welche die Gleichung $(z+3i)^2=-1$ erfüllen!
Wir können die Gleichung $(z+3i)^2=-1$ mit den Regeln der komplexen Zahlen lösen:
$$(z+3i)^2=-1$$
$$z^2+6zi+9i^2=-1$$
$$z^2+6zi+9=-1$$
$$z^2+6zi+10=0$$
Jetzt können wir die quadratische Formel anwenden:
$$z_{1,2}=\frac{-6i\pm\sqrt{(6i)^2-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}$$
$$z_{1,2}=-3i\pm\sqrt{-24}$$
$$z_{1}=-3i+2\sqrt{6}i$$
$$z_{2}=-3i-2\sqrt{6}i$$
Daher sind die Lösungen der Gleichung $z_{1}=-3i+2\sqrt{6}i$ und $z_{2}=-3i-2\sqrt{6}i$.
In einer Trommel liegen fünf rote und sieben grüne Bälle. Drei Bälle davon werden gezogen, mit (!) Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gezogenen Bälle die gleiche Farbe haben?
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gezogenen Bälle die gleiche Farbe haben, können wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden. Es gibt zwei Möglichkeiten, wie alle drei Bälle die gleiche Farbe haben können: entweder alle drei sind rot oder alle drei sind grün.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Bälle rot sind, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten, dass der erste, der zweite und der dritte gezogene Ball rot ist:
$$P(\text{alle drei rot})=\frac{5}{12}\cdot\frac{5}{12}\cdot\frac{5}{12}=\frac{125}{1728}$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Bälle grün sind, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten, dass der erste, der zweite und der dritte gezogene Ball grün ist:
$$P(\text{alle drei grün})=\frac{7}{12}\cdot\frac{7}{12}\cdot\frac{7}{12}=\frac{343}{1728}$$
Die gesamte Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gezogenen Bälle die gleiche Farbe haben, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass alle drei rot oder alle drei grün sind:
$$P(\text{alle drei gleiche Farbe})=P(\text{alle drei rot})+P(\text{alle drei grün})=\frac{125}{1728}+\frac{343}{1728}=\frac{468}{1728}=\frac{13}{48}$$
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gezogenen Bälle die gleiche Farbe haben, $\frac{13}{48}$ oder etwa 27,1%.
Eine Zufallsgröße X kann nur die Werte 1 und 2 annehmen; die Wahrscheinlichkeiten für 1 bzw. 2 sind dabei nicht bekannt. Wie groß kann die Varianz von X maximal sein?
Da die Wahrscheinlichkeiten für 1 und 2 nicht bekannt sind, können wir diese durch $p$ und $1-p$ ausdrücken, wobei $p$ die Wahrscheinlichkeit für 1 ist. Da die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1 müssen wir $1-p$ als die Wahrscheinlichkeit für 2 betrachten.
Die Varianz von X ist definiert als:
$$\operatorname{Var}(X) = E[(X - E[X])^2]$$
Da die Werte von X nur 1 und 2 sind, ist $E[X] = p \cdot 1 + (1-p) \cdot 2 = 2 - p$. Wir können nun die Varianz von X in Abhängigkeit von $p$ berechnen:
$$\operatorname{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = (1 - E[X])^2 \cdot p + (2 - E[X])^2 \cdot (1-p)$$
Einsetzen von $E[X]$ ergibt:
$$\operatorname{Var}(X) = (1 - (2-p))^2 \cdot p + (2 - (2-p))^2 \cdot (1-p)$$
$$\operatorname{Var}(X) = p(1-p)$$
Die Varianz von X ist also maximal, wenn $p(1-p)$ maximal ist. Da $p(1-p)$ eine quadratische Funktion in $p$ ist, hat sie ein Maximum an der Stelle $p = \frac{1}{2}$. Daher ist die Varianz von X maximal, wenn die Wahrscheinlichkeit für 1 und 2 jeweils $\frac{1}{2}$ beträgt. In diesem Fall beträgt die Varianz von X:
$$\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$
Erzeuge noch ein paar Mathematik-Aufgaben aller dieser Arten!
[Die zehn Aufgaben umfassende Antwort ist nicht hier veröffentlicht, sondern wird dann in zwei Wochen Teil meiner Mathematik-1-Klausur, Anm. J.L.]
Kommentar vom 2023-03-07, 11:34
Mir scheint, ein bisschen Meister Yoda ist auch mit drin:
"die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1 müssen"
Kommentar vom 2023-03-07, 14:35
ChatGPT und rechnen? Nun ja. Oder sehe ich da was falsch?
Auf Nachfrage, ob das Ergebnis denn wirklich richtig sei, kommt dann manchmal doch die richtige Antwort. Manchmal nicht. Macht übrigens keinen Unterschied im Ergebnis, ob man auf Deutsch oder Englisch fragt.
FB
********* Frage:
Wieviel Watt sind 8 nJ pro 100 fs?
********* ChatGPT-Antwort:
Um die Leistung in Watt (W) zu berechnen, müssen wir die Energie (Joule, J) durch die Zeit (Sekunden, s) teilen. Da wir hier 8 nJ (Nanometer-Joule) und 100 fs (Femtosekunden) haben, müssen wir die Energie zunächst in Joule umrechnen und die Zeit in Sekunden umwandeln:
8 nJ = 8 × 10^(-9) J (da 1 nJ = 10^(-9) J)
100 fs = 100 × 10^(-15) s (da 1 fs = 10^(-15) s)
Dann können wir die Leistung wie folgt berechnen:
Leistung = Energie / Zeit
Leistung = 8 × 10^(-9) J / (100 × 10^(-15) s)
Leistung = (8 × 10^(-9) J) / (1 × 10^(-13) s)
Leistung = 80 W
Also beträgt die Leistung 80 Watt.
Kommentar vom 2023-03-07, 15:12
@FB: Würden wir nicht jeder*m Student*in für diese wunderschön ausführliche Antwort vier von fünf Punkten geben? Außerdem sind die "Augmented LLM"s im Anflug, also quasi ChatGPT + Wolfram Alpha. J. L.
Kommentar vom 2023-03-07, 15:22
@ J.L.: Ja, das stimmt. Zumindest bei Studierenden der Physik. Da spielt ein Fehler von ein paar Größenordnungen auch nicht wirklich eine Rolle ...
Wolfram Alpha gibt auf "How many W are 8 nJ in 100 fs?" die richtige Antwort.
FB
Kommentar vom 2023-03-07, 17:13
Lustig, dass dort "Differenz zweier Quadrate" vorkommt. Das stammt ja wohl aus dem Englischen, während jemand, der in der Deutschland zur Schule gegangen ist, eher von der "dritten binomischen Formel" sprechen würde. Es ist mir nie so ganz klar, wann ChatGPTs Antworten auf gelernten Texten der Originalsprache beruhen und wann das System übersetzt.
Kommentar vom 2023-03-07, 17:38
Bei Ihnen hat ChatGPT von sich aus LaTeX-Syntax verwendet? Wenn ich wortwörtlich dieselbe Frage mit der Varianz eingebe, bekomme ich eine Antwort ohne LaTeX - und nebenbei ein anderes Ergebnis, was mich nach meinen bisherigen Erfahrungen mit ChatGPT nicht überrascht. (Vielleicht ist der Unterschied, dass es in Ihrem Fall vorher schon einen Dialog gab, in dem LaTeX-Syntax verwendet wurde.)
Kommentar vom 2023-03-07, 18:26
Warum rechnen, ChatGPT soll doch nur die Aufgaben stellen. Das Rechnen machen die Studis. Wir bewerten nur noch die Lösung, vielleicht formuliert dann ChatGPT auch gleich eine Rückmeldung. Ich würde sogar Sonderpunkte für gefundene Fehler in den Aufgabenstellungen geben (und gleich reklamieren und drohen, die Abogebühren zu kürzen).
Gruss (dg)
Kommentar vom 2023-03-07, 19:24
@FB: Oder in BWL (zumindest bei "systemrelevanten" Unternehmen) oder in VWL. J. L.
Kommentar vom 2023-03-07, 19:27
@Kommentator*in von 17:13: "Differenz zweier Quadrate" kann ja wirklich auf Deutsch aus dem Netz gelernt sein. Ich sehe zumindest ein paar Fundstellen. J. L.
Kommentar vom 2023-03-07, 19:32
@Kommentator*in von 19:24: Oh, der gesamte Dialog oben war ein einziger Chat. ChatGPT wird also sein eigenes LaTeX aus den Antworten davor als Inspiration genommen haben. J. L.
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