Home
| Lehre
| Videos
| Texte
| Vorträge
| Software
| Person
| Impressum, Datenschutzerklärung
|
Die Blog-Postings sind Kommentare im Sinne von § 6 Abs. 1 MStV. Der Verfasser ist Jörn Loviscach, falls jeweils nicht anders angegeben. Die Blog-Postings könnten Kraftausdrücke, potenziell verstörende Tatsachenbehauptungen und/oder Darstellungen von Stereotypen enthalten. Die Beiträge der vergangenen Wochen werden als Bestandteil der Internet-Geschichte in ihrer ursprünglichen Form gezeigt. Menschliche Autor*innen können unzutreffende Informationen über Personen, Orte oder Fakten liefern.
vorheriger | Gesamtliste | jüngste | nächster
2024-11-30 20:55
Mein Vortrag von Donnerstag ist nun online. Highlights: die neuesten Fähigkeiten der KI in der Mathematik; KI wird von Leuten, die das in den USA zu entscheiden haben, für kriegsentscheidend gehalten.
Kommentar vom 2024-12-02, 19:57
Genau, die Rechenkünste sind überraschend unzuverlässig: GPT-4o und Gemini-1.5pro reichen mir eine Lösung für eine Übungsaufgabe ein, die sich im Lösungsweg (und auch den "vergessenen" Einheiten) ganz verdächtig ähnlich sehen, und nur bei einem von beiden ist dann 9.81 x 12.5 = 140.175 , aber wer hat jetzt von wem abgeschrieben? Oder beide aus der gleichen Vorlage? Früher habe ich die Abende damit verbracht, die Musterlösung zu layouten; jetzt kommt zwar alles in LaTeX, aber ich muss die Zahlen nachrechnen …
Gruß (dg)
Kommentar vom 2024-12-04, 17:30
Neulich habe ich mal zum Test ChatGPT gefragt, warum ein (im traditionellen Sinn) injektiver topologischer Raum indiskret sein muss. Außer einem unergiebigen Jonglieren mit Definitionen kam nichts dabei heraus. Die Kreidemathematik scheint noch für einige Zeit sicher zu sein.
Kommentar vom 2024-12-04, 21:30
@Kommentator*in von 17:30: Mit Hochschulmathematik
war hier nicht die brotlose Reine Mathematik der Uni-Mathe-Fakultät gemeint, sondern die Angewandte Mathematik von Ingenieur- und Naturwissenschaften. ;-) J. L. Und hier ist o1-preview:
Um klar zu begründen, warum ein (im traditionellen Sinn) injektiver topologischer Raum indiskret sein muss, gehen wir schrittweise vor. **1. Definition eines injektiven Objekts in der Kategorie der topologischen Räume:** Ein topologischer Raum \( E \) heißt **injektiv**, wenn für jeden topologischen Raum \( B \), jeden Teilraum \( A \subseteq B \) und jede stetige Abbildung \( f: A \to E \) eine stetige Fortsetzung \( g: B \to E \) existiert, so dass \( g|_A = f \). **2. Eigenschaften indiskreter Räume:** Ein **indiskreter Raum** ist ein topologischer Raum, bei dem die einzigen offenen Mengen die leere Menge \( \emptyset \) und der gesamte Raum \( E \) sind. - **Stetigkeit von Abbildungen in indiskrete Räume:** - Jede Abbildung \( g: X \to E \) von einem beliebigen topologischen Raum \( X \) in einen indiskreten Raum \( E \) ist automatisch stetig. - Grund: Die Urbilder der offenen Mengen in \( E \) sind entweder \( g^{-1}(\emptyset) = \emptyset \) oder \( g^{-1}(E) = X \), die beide offen in \( X \) sind. **3. Beweis, dass indiskrete Räume injektiv sind:** Da jede Abbildung in einen indiskreten Raum \( E \) stetig ist, kann jede Abbildung \( f: A \to E \) von einem Teilraum \( A \) eines Raumes \( B \) auf ganz \( B \) zu einer stetigen Abbildung \( g: B \to E \) fortgesetzt werden, indem man \( g \) auf \( B \setminus A \) beliebig definiert. Somit ist \( E \) injektiv. **4. Beweis, dass nur indiskrete Räume injektiv sein können:** Angenommen, \( E \) ist ein injektiver topologischer Raum, der **nicht** indiskret ist. Das bedeutet, dass es eine nichtleere, echte offene Teilmenge \( U \subsetneq E \) gibt. Wir konstruieren nun ein konkretes Beispiel, um zu zeigen, dass \( E \) nicht injektiv sein kann. **Konstruktion des Gegenbeispiels:** - **Raum \( B \):** Wir betrachten den **Sierpiński-Raum** \( S \), der aus den Punkten \( \{0, 1\} \) besteht. Die Topologie auf \( S \) ist gegeben durch die offenen Mengen \( \emptyset \), \( \{1\} \) und \( \{0, 1\} \). Die Menge \( \{1\} \) ist offen, \( \{0\} \) nicht. - **Teilraum \( A \):** Sei \( A = \{1\} \), ein offener Teilraum von \( B \). - **Stetige Abbildung \( f: A \to E \):** Wir definieren \( f(1) \in U \), wobei \( U \) eine nichtleere, echte offene Teilmenge von \( E \) ist. - **Versuch einer Fortsetzung \( g: B \to E \):** Wir wollen \( f \) zu einer stetigen Abbildung \( g \) auf ganz \( B \) fortsetzen, so dass \( g|_A = f \). **Analyse der möglichen Fortsetzungen:** 1. **Fall, dass \( g(0) \in U \):** - **Stetigkeitsbedingung an \( 0 \):** - Die einzige offene Menge in \( B \), die \( 0 \) enthält, ist \( B \) selbst. - Damit \( g \) an \( 0 \) stetig ist, muss \( g^{-1}(V) \) offen in \( B \) sein für jede offene Menge \( V \subseteq E \), die \( g(0) \) enthält. - **Problem:** - Da \( g(0) \in U \) und \( U \) offen ist, ist \( g^{-1}(U) \) eine Menge, die \( 0 \) enthält. - Aber \( g^{-1}(U) \) müsste offen in \( B \) sein, also \( \{0,1\} \), was es ist. - Dennoch führt dies dazu, dass \( g^{-1}(E \setminus U) = \emptyset \), was offen ist, aber keine Informationen über die Stetigkeit an \( 0 \) liefert. 2. **Fall, dass \( g(0) \notin U \):** - **Stetigkeitsbedingung an \( 0 \):** - \( g^{-1}(E \setminus U) \) muss offen in \( B \) sein und \( 0 \) enthalten. - **Problem:** - \( g^{-1}(E \setminus U) = \{0\} \), da \( g(0) \notin U \) und \( g(1) \in U \). - Aber \( \{0\} \) ist nicht offen in \( B \), was die Stetigkeit von \( g \) an \( 0 \) verletzt. **Schlussfolgerung aus der Analyse:** Es gibt keine Wahl von \( g(0) \), so dass \( g \) an \( 0 \) stetig ist. Daher kann \( f \) nicht zu einer stetigen Abbildung \( g: B \to E \) fortgesetzt werden. **Widerspruch zur Injektivität von \( E \):** Da es eine stetige Abbildung \( f: A \to E \) gibt, die nicht auf \( B \) fortgesetzt werden kann, ist \( E \) nicht injektiv. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass \( E \) injektiv ist. **5. Zusammenfassung und Schlussfolgerung:** - **Nur indiskrete Räume sind injektiv:** Nur in indiskreten Räumen ist jede Abbildung automatisch stetig, was die notwendige Bedingung für die Injektivität erfüllt. - **Nicht indiskrete Räume können nicht injektiv sein:** In nicht indiskreten Räumen existieren echte offene Mengen, die es unmöglich machen, bestimmte stetige Abbildungen von einem Teilraum auf den gesamten Raum fortzusetzen. **Endergebnis:** Ein topologischer Raum \( E \) muss indiskret sein, um injektiv zu sein. Somit muss ein (im traditionellen Sinn) injektiver topologischer Raum indiskret sein.
Kommentar vom 2024-12-06, 16:26
Das ist fast noch schlimmer als die Antwort, die ich erhalten hatte.
Da gab es nach den Definitionen wenigstens einen sofort als hilfloses
Händewedeln erkennbaren Versuch:
"3. Necessity of the Indiscrete Topology: If X were not indiscrete (i.e., if X had some nontrivial open set U⊂X), then there could exist a space
where a map f:A->X might not be extendable to a map from a larger space B (due to issues with ensuring continuity). This would violate the injectivity condition."
Hier wird hingegen probiert, uns von der Existenz konstanter
nichtstetiger Abbildungen zu überzeugen.
Außerdem wird gar nicht die traditionelle kategorielle Definition
(a) Fortsetzung längs eines Monomorphismus
sondern
(b) Fortsetzung längs der Inklusion eines Teilraums
verwendet. Nur indiskrete Räume erfüllen (a). Deshalb verwenden
Topologen (b), wo das eben nicht gilt (fun fact: ausgerechnet
der Sierpinski-Raum ist injektiv im Sinn von (b))
P.S.: Die abgewandte Mathematik ist das letzte Refugium der Kreide.
Kommentar vom 2024-12-06, 18:30
@Kommentator*in von 16:25: Kudos für abgewandte
, J. L.
Kommentar vom 2024-12-08, 22:52
@Kommentator*in von 16:25: Hier ist ChatGPT 01 (nicht mehr preview), J. L.:
**Kurze Zusammenfassung:** In der Kategorie der topologischen Räume mit stetigen Abbildungen und Einbettungen als Monomorphismen existieren im klassischen Sinn keine nichttrivialen injektiven Objekte. Der einzige topologische Raum, der diese injektive Eigenschaft besitzt, ist derjenige mit der indiskreten (trivialen) Topologie. **Detaillierte Begründung:** Ein Objekt \( X \) in einer Kategorie heißt injektiv, wenn für jeden Monomorphismus \( f: A \hookrightarrow B \) und jeden Morphismus \( g: A \to X \) ein Morphismus \( \tilde{g}: B \to X \) existiert, so dass das Diagramm \[ \begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{g} & X \\ \downarrow{f} & & \\ B & \xrightarrow{\tilde{g}} & X \end{array} \] kommutiert. Übertragen auf die Kategorie der topologischen Räume (mit stetigen Abbildungen) bedeutet dies: Gegeben eine Einbettung topologischer Räume \( A \subseteq B \) und eine stetige Abbildung \( g: A \to X \), muss es möglich sein, \( g \) zu einer stetigen Abbildung \( \tilde{g}: B \to X \) zu erweitern. Betrachten wir nun, welche Konsequenzen dies für die Topologie von \( X \) hat: 1. **Sehr starke Bedingungen für Stetigkeits-Erweiterungen:** Die Forderung nach Injektivität ist außerordentlich stark. Sie verlangt, dass für **jede** Einbettung \( A \subseteq B \) und **jede** stetige Abbildung \( g: A \to X \) eine stetige Fortsetzung \( \tilde{g}: B \to X \) existiert. Dies umfasst insbesondere sehr „schwierige“ Einbettungen, etwa dichte Einbettungen ohne einfache Fortsetzungseigenschaften. Würde \( X \) nichttriviale topologische Struktur besitzen, gäbe es i.d.R. Situationen, in denen die geforderte kontinuierliche Fortsetzung nicht möglich ist. 2. **Indiskrete Topologie erlaubt triviale Stetigkeit:** Im Fall der indiskreten Topologie auf \( X \) ist jedoch jede Abbildung aus einem beliebigen topologischen Raum nach \( X \) automatisch stetig, weil die Urbilder offener Mengen von \( X \) stets ganz \( A \) bzw. leer sein können, und derartige Urbilder topologisch keine Einschränkungen erzeugen. Somit ist es trivial, jede auf einem Teilraum definierte Abbildung stetig auf den gesamten Raum zu erweitern: Die Stetigkeit kann nicht „kaputtgehen“, da es keine nichttrivialen offenen Mengen in \( X \) gibt, die fortsetzungsbedingte Komplikationen erzeugen. 3. **Kein nichttriviales Beispiel möglich:** Angenommen, \( X \) hätte eine nichtindiskrete Topologie. Dann existieren zwei verschiedene offene Mengen (z. B. eine nichtleere echte Teilmenge, die offen ist). Man kann nun leicht ein Gegenbeispiel konstruieren, indem man etwa eine Einbettung \( A \subseteq B \) so wählt, dass die geforderte stetige Fortsetzung in \( X \) aufgrund der Trennung der offenen Mengen nicht mehr existieren kann. Insbesondere kann man Situationen konstruieren, bei denen die auf \( A \) gegebene Abbildung \( g \) so definiert ist, dass eine stetige Fortsetzung auf \( B \) nicht möglich ist, weil dadurch der Grenzübergang zu einer nicht passenden offenen Menge in \( X \) nicht mehr erfüllt werden kann. **Fazit:** Die Anforderung, ein injektives Objekt in der Kategorie der topologischen Räume zu sein, ist so stark, dass ein solcher Raum keine nichttriviale Topologie besitzen kann, da sonst nicht jede mögliche stetige Abbildung von einem Unterraum auf den ganzen Raum fortsetzbar wäre. Daher muss ein im traditionellen Sinne injektiver topologischer Raum notwendigerweise indiskret sein.
Kommentar vom 2024-12-25, 23:53
Leider immer noch hilfloses Händewedeln, wobei auch immer noch Monomorphismus und Einbettung durcheinandergeworfen wird. Zu meiner Überraschung sind die Einträge in (deutscher und englischer) Wikipedia hierzu auch falsch. Die KI leidet also wohl daran, auf *zu* *viele* fragwürdige Quellen Zugriff zu haben. Wenn die KI sich stattdessen nur aus einer Datenbank formalisierter Mathematik bedienen würde, hätte sie vielleicht eine Chance. Der einfache Beweis
--
Sei (X, t) ein injektiver top. Raum und (X, i) der indiskrete Raum auf X.
(1) Die durch m(x) = x definierte stetige Abbildung m: (X, t) --> (X, i) ist ein Monomorphismus.
(2) Jede Fortsetzung h: (X, i) --> (X, t) von id: (X, t) --> (X, t) längs m muss h(x) = h(m(x)) = x erfüllen.
Also ist t schwächer als i und damit selbst indiskret.
--
verwendet nur Daten, die man aus der Existenz von (X, t) erschließen kann.
P.S.: Ich habe den Verdacht, dass die KI bei der Suche immer nur auf eine ähnliche Situation im Kontext von T0-Räumen stößt.
Neuer Kommentar
0 Zeichen von maximal 1000
Ich bin die*der alleinige Autor*in dieses Kommentars und räume dem Betreiber dieser Website das unentgeltliche, nichtausschließliche, räumlich und zeitlich unbegrenzte Recht ein, diesen Kommentar auf dieser Webseite samt Angabe von Datum und Uhrzeit zu veröffentlichen. Dieser Kommentar entspricht geltendem Recht, insbesondere in Bezug auf Urheberrecht, Datenschutzrecht, Markenrecht und Persönlichkeitsrecht. Wenn der Kommentar mit einer Urheberbezeichnung (zum Beispiel meinem Namen) versehen werden soll, habe ich auch diese in das Kommentar-Textfeld eingegeben. Ich bin damit einverstanden, dass der Betreiber der Webseite Kommentare zur Veröffentlichung auswählt und sinngemäß oder zur Wahrung von Rechten Dritter kürzt.