Kompl I – Grundrechenarten für komplexe Zahlen

Gaußsche Zahlenebene

Um die Gleichung \[x^2 = -1\] zu lösen, erfindet man die imaginäre Einheit, genannt $i$ oder $j$. In der Mathematik und der Physik schreibt man $i$, in der Elektrotechnik $j$, weil dort schon die Wechselstromstärke $i$ heißt. Wolfram Alpha versteht aktuell nur $i$, Python nur $j$. Es gibt dann auch sofort eine zweite Zahl, die dieselbe Gleichung löst, nämlich $-i$, denn \[(-i)^2 = ((-1)\cdot i)^2 = (-1)\cdot i \cdot (-1) \cdot i = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot i^2 = -1.\]

Die Menge der komplexen (das heißt: zusammengesetzen) Zahlen entsteht, indem man alle möglichen Kombinationen aus reellen Zahlen mit der imaginären Einheit bildet: \[{\mathbb C} = \{ 2+3i, \sqrt{7}-76i,0+34i, \pi+\tfrac{54}{29}i,\ldots \}.\]

Die reellen Zahlen sind darin als Teilmenge $\{ 2+0i, \sqrt{7}-0i,0+0i, \pi+0i,\ldots \}$ eingebettet.

Nun lässt sich beispielsweise die quadratische Gleichung $x^2-2x+5 = 0$ lösen: Stumpfes Anwenden der $pq$-Formel liefert \[x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1^2-5} = 1 \pm \sqrt{-4} = 1 \pm 2i.\]

Erstaunlich ist, dass für komplexe Zahlen weiterhin die üblichen Rechengesetze gelten. So ist zum Beispiel die Reihenfolge beim Addieren und Multiplizieren egal und man kann wie gewohnt ausmultiplizieren und ausklammern.

In Gleichungen schreibt man für variable oder unbekannte komplexe Zahlen gerne $z$ statt $x$. Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind so definiert: Für $z=a+bi$ mit $a,b \in \mathbb{R}$ ist der Realteil $\mathrm{Re}(z)=a$ und der Imaginärteil $\mathrm{Im}(z)=b$, wohlgemerkt $b$ und nicht $bi$. Zum Beispiel: $\mathrm{Im}(-3+4i)=4$.

Die Menge $\mathbb C$ der komplexen Zahlen lässt sich wie die Menge ${\mathbb R}^2$ mit einer Ebene veranschaulichen. Dann nennt man die Ebene die Gaußsche Zahlebene. Die Achsen sind der Realteil und der Imaginärteil der jeweiligen Zahl. Man zeichnet eine komplexe Zahl meist als Pfeil ein, nicht als Punkt:

Die Gaußsche Zahlenebene mit einem Gitter. Die horizontale Achse ist mit Re(z) und die vertikale Achse mit Im(z) beschriftet. Ein Pfeil vom Ursprung zum Punkt (2,3; 1,5) stellt die komplexe Zahl z = 2,3 + 1,5i dar. Gestrichelte Linien von der Pfeilspitze zu den Achsen verdeutlichen den Realteil 2,3 und den Imaginärteil 1,5.

Die meisten Operationen mit komplexen Zahlen kann man nicht nur mit Zahlen ausrechnen, sondern auch viel anschaulicher in der Gaußschen Zahlenebene geometrisch kontruieren und damit anschaulich verstehen. Das gilt insbesondere für die Grundrechenarten; unten mehr dazu.

Wenn man von einer komplexen Zahl $z$ zu der komplexen Zahl $-z$ übergeht, bedeutet das eine Punktspiegelung am Ursprung. Wenn man von einer komplexen Zahl $z$ zu ihrem „komplex Konjugierten“ $\overline{z}$ übergeht, wird das Vorzeichen der imaginären Einheit umgedreht: $\overline{2+\tfrac{3}{2}i} = 2-\tfrac{3}{2}i$. Das entsprecht einer Oben/Unten-Spiegelung:

Die Gaußsche Zahlenebene, die die geometrische Bedeutung von Negation und komplexer Konjugation zeigt. Ein Pfeil für die Zahl z = 2 + i ist im ersten Quadranten eingezeichnet. Ein zweiter Pfeil für -z = -2 - i zeigt in den dritten Quadranten und ist eine Punktspiegelung von z am Ursprung. Ein dritter Pfeil für das komplex Konjugierte z-quer = 2 - i zeigt in den vierten Quadranten und ist eine Spiegelung von z an der reellen Achse.

Betrag und Winkel einer komplexen Zahl

Der Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl $z$ ist ihre Länge als Pfeil in der Gaußschen Zahlenebene, also nach Pythagoras zum Beispiel $|3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2}$. Beachte: Hier steht nicht $4i$ unter der Wurzel, sondern nur der Imaginärteil $4$, denn es geht um die Seitenlängen des Dreiecks.

Die Gaußsche Zahlenebene zur Veranschaulichung des Betrags einer komplexen Zahl z = a + bi. Der Pfeil für z bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten des Dreiecks liegen auf der reellen Achse (Länge a) und parallel zur imaginären Achse (Länge b). Der Betrag |z| ist nach dem Satz des Pythagoras die Wurzel aus a-Quadrat plus b-Quadrat.

Für reelle Zahlen ist dieser Betrag der übliche Absolutbetrag, denn zum Beispiel: \[|-7+0i| = \sqrt{(-7)^2 + 0^2} = \sqrt{49} = 7.\]

Mit Hilfe des komplex Konjugierten kann man das Quadrat des Betrags schreiben: \[z \cdot \overline{z} = (a+bi)(a-bi) \stackrel{3.~\mathrm{Binomi}}{=} a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2+b^2 = |z|^2 \tag{★}\]

Der Winkel (oder das Argument oder die Phase) $\mathrm{arg}(z)$ einer komplexen Zahl $z$ ist der Winkel zwischen ihrem Pfeil und der positiven reellen Achse, gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Er ist nur bis auf Vielfache von $2 \pi = 360^{\circ}$ bestimmt. Für die Zahl $z=0$ ist der Winkel unbestimmt. Für den Tangens dieses Winkels gilt: \[\tan(\arg(z)) = \frac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)}\]

Allerdings muss aufpassen, wenn man andersherum rechnen will, also den Winkel aus dem Verhältnis bestimmen will. Denn der Tangens ist keine umkehrbare Funktion. In der Hälfte der Fälle ist dies deshalb falsch: \[\arg(z) \stackrel{?!?}{=} \arctan\left( \frac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)} \right)\] Am Computer hat man glücklicherweise meist eine Funktion $\mathrm{atan2}$ zur Hand, in die man nicht das Verhältnis von Imaginärteil zu Realteil einsetzt, sondern beide getrennt voneinander: $\mathrm{atan2}(\mathrm{Im}(z), \mathrm{Re}(z))$ ergibt $\arg(z)$. Aber das stimmt natürlich wieder nur bis auf ganze Umdrehungen, also ganzzahlige Vielfache von $360^{\circ} = 2\pi$.

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

Rechnerisch bestimmt man die Summe und die Differenz von komplexen Zahlen, als ob die imaginäre Einheit eine harmlose Zahl wäre. Für $z_1 = 3+i$ und $z_2 = 1+2i$ ist \[z_1+z_2 = (3+i) + (1+2i) = 3+1 + (1+2)i = 4+3i\] und \[z_1-z_2 = (3+i) -(1+2i) = 3-1 + (1-2)i = 2-i.\]

Geometrisch entspricht das der Summe und der Differenz von Pfeilen in der Gaußschen Zahlenebene:

Illustration der Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in der Gaußschen Ebene. Zwei Pfeile für z1 = 3 + i und z2 = 1 + 2i sind vom Ursprung aus gezeichnet. Der Summenpfeil z1 + z2 = 4 + 3i ist die Diagonale des Parallelogramms, das von z1 und z2 aufgespannt wird. Der Differenzpfeil z1 - z2 = 2 - i wird als Summe von z1 und -z2 (dem zu z2 entgegengesetzten Pfeil) konstruiert.

Multiplikation komplexer Zahlen

Rechnerisch bestimmt man das Produkt $z_1 \cdot z_2$ von komplexen Zahlen zunächst wieder, als ob die imaginäre Einheit eine harmlose Zahl wäre. Danach berücksichtigt man noch, dass $i^2=-1$ und fasst alles zusammen: \[(2+4i)(3+i) = 2\cdot 3 + 2i + 4i\cdot 3 + 4i^2 \\ = 6+2i + 12i-4 \\ = 6-4+2i+12i \\ = 2+14i.\]

Um zu sehen, was hier geometrisch passiert, kann man sich zunächst das Produkt der imaginären Einheit mit einer komplexen Zahl $z$ ansehen, also $i\, z$. Dieses Produkt mixt Realteil und Imaginarteil von $z$ so, dass der Pfeil von $z$ um $90^{\circ}$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird. Das sieht man an diesem Beispiel durch Abzählen der Kästchen:

Illustration der Multiplikation mit der imaginären Einheit i. Ein Pfeil für die komplexe Zahl z = 2 + i ist im ersten Quadranten eingezeichnet. Ein zweiter Pfeil für das Produkt iz = -1 + 2i ist im zweiten Quadranten. Ein Winkelbogen zwischen den beiden Pfeilen zeigt, dass die Multiplikation mit i einer Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn entspricht.

Ein allgemeines Produkt $z_1\, z_2 = (a_1+b_1i)z_2$ zweier komplexer Zahlen lässt sich nun zerlegen: \[z_1 z_2 = (a_1+b_1i)z_2 = a_1z_2+b_1iz_2\] In dieser Formel erkennt man zwei Anteile: Erstens wird die Zahl $z_2$ so skaliert ($a_1z_2$), wie es der Realteil $a_1$ der ersten Zahl angibt. Zweitens wird die Zahl $z_2$ um $90^{\circ}$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht ($iz_2$) und dann so skaliert ($b_1iz_2$), wie es der Imaginärteil $b_1$ der ersten Zahl angibt.

Im unten abgebildeten Beispiel erkennt man, dass so eine skalierte und gedrehte Version des Pfeils der Zahl $z_1$ entsteht (blaues Dreieck wird zum orangefarbenen Dreieck). Der Drehwinkel ist dabei der Winkel $\varphi_2$ der Zahl $z_2$. Außerdem sind die Seiten des orangefarbenen Dreiecks aus Vielfachen des Pfeils der Zahl $z_2$ und dessen um $90^{\circ}$ gedrehter Kopie $iz_2$ gebildet.

Koordinatensystem mit feinem Gitternetz von x = −5 bis 8 und y = −1 bis 15. Der Ursprung (0,0) ist als kleiner Kreis markiert. Waagrecht verläuft die reelle Achse „Re(z)“, senkrecht die imaginäre Achse „Im(z)“, beide mit Pfeilspitzen nach rechts bzw. oben.

Ein blauer Pfeil stellt $z_1=3+i$ dar: Er beginnt im Ursprung und endet bei (3,1). Das dazugehörige **blaue Dreieck** zeigt die Zerlegung „3 + i“: Grundseite vom Ursprung nach (3,0) ist mit „3“ beschriftet, Hochkante von (3,0) nach (3,1) mit „i“. An der Ecke (3,0) ist ein rechtes Winkelzeichen eingezeichnet.

Ein grau-schwarzer Pfeil zeigt $z_2=2+4i$ vom Ursprung nach (2,4). Von dort abgeleitet sind zwei weitere Vektoren ab Ursprung: **grün** $3z_2$ bis (6,12) (kollinear zu $z_2$, dreifache Länge) und **lila** $i\,z_2$ bis (−4,2) (Rotation von $z_2$ um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn).

Das **Produkt** $z_1z_2=(3+i)z_2$ ist als **roter** Pfeil vom Ursprung nach (2,14) gezeichnet. Seine Zerlegung als Summe $3z_2 + i\,z_2$ wird durch ein **oranges Dreieck** visualisiert: Grundseite vom Ursprung nach (6,12) ist mit „$3z_2$“ beschriftet; die zweite Seite von (6,12) nach (2,14) ist mit „$i\,z_2$“ beschriftet. Die Spitze des roten Pfeils liegt in (2,14).

Am Ursprung sind **drei Winkelbögen** eingezeichnet:
(1) **Blauer Winkel** zwischen der positiven Re-Achse und der Richtung von $z_1$ (ungefähr $18{,}4^\circ$);
(2) **grau-schwarzer Winkel** zwischen der positiven Re-Achse und der Richtung von $z_2$ (ungefähr $63{,}4^\circ$);
(3) ein **zweiter blauer Winkel** zwischen der Richtung von $z_2$ und der Richtung des Produktvektors $z_1z_2$. Die beiden **blauen Winkel sind gleich groß** und betonen, dass $\arg(z_1z_2)=\arg(z_2)+\arg(z_1)$. Der Gesamtwinkel des Produkts beträgt entsprechend ungefähr $81{,}9^\circ$.

Beschriftungen in der Zeichnung: „$z_1=3+i$“ am blauen Pfeil, „$z_2=2+4i$“ am grau-schwarzen Pfeil, „$3z_2$“ am grünen, „$i\,z_2$“ am lila, sowie „$z_1z_2=(3+i)z_2$“ am roten Pfeil; die Kanten des blauen Dreiecks sind mit „3“ (horizontal) und „i“ (vertikal) markiert. Die beiden farbig gefüllten Dreiecke (blau und orange) heben die Summen-Darstellungen $z_1=3+i$ bzw. $z_1z_2=3z_2+i\,z_2$ hervor.

Geometrisch passiert also Folgendes: Die Längen der beiden zu multiplizierenden Zahlen werden multipliziert, ihre Winkel werden addiert (ggf. plus ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$).

Division komplexer Zahlen

Rechnerisch bestimmt man den Quotienten $z_1/z_2$ zweier komplexer Zahlen wieder so, als ob die imaginäre Einheit eine harmlose Zahl wäre. Es gibt dabei einen Kunstgriff, um die imaginäre Einheit aus den Nenner wegzubekommen. Dann erhält man ein Ergebnis in der üblichen Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a$ und $b$. Dazu erweitert man mit dem komplex Konjugierten des Nenners und verwendet die Gleichung (★) von oben: \[\frac{2+4i}{3+i} = \frac{(2+4i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} \\ = \frac{6-2i+12i-4i^2}{3^2+1^2} = \frac{(6+4) + ( -2+12 )i}{10} \\ = \frac{10+10i}{10} = 1+i.\]

Was geometrisch passiert, kann man daraus herleiten, dass die Division die Multiplikation umkehrt. Wir suchen eine komplexe Zahl $z$ mit $z = z_1/z_2$, also mit der Multiplikation ausgedrückt $z \cdot z_2= z_1$. Wie die Multiplikation geometrisch funktioniert, wissen wir aber nun schon. Die letzte Gleichung $z \cdot z_2= z_1$ bedeutet also: Wenn man die Länge des Quotienten $z = z_1/z_2$ mit der Länge des Nenners $z_2$ multipliziert, ergibt sich die Länge des Zählers $z_1$. Wenn man den Winkel des Quotienten und den Winkel des Nenners addiert, ergibt sich der Winkel des Zählers (ggf. plus ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$).

Damit kann man sagen, was bei der Division zweier komplexer Zahlen geometrisch passiert: Die Längen werden dividiert, die Winkel subtrahiert (bis auf ganzzahlige Vielfache von $2\pi$). Beachte die Längen und Winkel im eben rein mit Zahlen gerechneten Beispiel:

Illustration der Division zweier komplexer Zahlen. Gezeigt sind drei Pfeile vom Ursprung aus: z1 = 2 + 4i, z2 = 1 + i, und das Ergebnis der Division z3 = z1/z2 = 3 + i. Winkelbögen deuten die Argumente (Winkel) von z1 und z2 an. Der Winkel von z3 ist die Differenz der Winkel von z1 und z2. Der Betrag (Länge) von z3 ist der Quotient der Beträge von z1 und z2.

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