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Alle letzten Änderungen dieser Webseite sind
durch rote Schrift gekennzeichnet!
Der Schwerpunkt liegt auf praxisbezogenem Wissen, nicht auf der Vermittlung
abstrakter Konstruktionen oder entlegener mathematischer Beweise. Dort,
wo Beweise für Anwendungen wichtige Einblicke liefern, geht die Vorlesung
aber sogar über das übliche Maß hinaus (z.B. Beweis der
Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung mittels Euklidischem Algorithmus, Beweis
des Fundamentalsatzes der Algebra mittels Windungszahlen).
Christian Hein hat die HTML- und GIF-Dateien so
ins Netz gestellt, dass Sie die Fragen online
beantworten können. (Hier auf dem Weblearn-Server würde dabei
leider Hyperwaves "Intelligenz" dazwischenfunken.)
Eingeschobene Seiten sind nach dem Muster 10, 10a, 10b, 11 nummeriert. Ändere ich Skripte im Nachhinein z.B. wegen Fehlern (Sollten die etwa jemals passieren? ;-), stelle ich zusätzlich eine kommentierende HTML-Datei in das jeweilige Verzeichnis.
Mangels Zeit ausgelassene Stellen markiere ich
mit einer Wellenlinie am linken Rand. Diese Stellen sollten Sie zwar zur
Kenntnis nehmen, Teil der Prüfungen sind sie aber nicht.
Bei Problemen mit den Aufgaben können Sie mich jederzeit anmailen. Oder helfen Sie sich selbst und lösen die Aufgaben z.B. in einer Zwei- oder Vierergruppe.
Ich empfehle Ihnen dringend, die Lösungen aufzuschreiben und mir per E-Mail oder auf Papier zur Korrektur zu geben. Sie können mir Lösungen auch im Nachhinein vorlegen, sogar noch in der vorlesungsfreien Zeit.
Die Teilnahme an den Übungen und der Erfolg
bei abgegebenen Übungsaufgaben hat in dieser Veranstaltung keinen
Einfluss auf die Benotung. Wenn Sie wollen, reichen Sie mir die Lösungen
anonym ein, auch wenn ich sie nachsehen soll.
Diese Bücherliste ist bloß ein Hinweis für Unentschlossene. Welches Medium und welches Lehrmaterial Sie am besten unterstützt, können Sie nur per Selbstversuch feststellen. Das wohl knappste und zugleich tiefschürfendeste ;-) jemals verfasste Mathematikbuch ist nur auf Englisch erhältlich und leider inzwischen schwer zu beschaffen.
Dank Internet kommt man im mathematischen Alltag
ohne Bücher aus -- entsprechende Englischkenntnisse vorausgesetzt.
Das griechische
Alphabet findet sich noch auf einer deutschen Site. Wolfram Research
stellt eine englischsprachige Mathematik-Enzyklopädie
bereit. Nach Themen gegliederte Querverweise zu Vorlesungsmaterialien etc.
finden sich in den Mathematics
Archives. Aber Vorsicht: Viele Fachbegriffe lauten im Englischen anders,
als man erwarten könnte (Übersetzungshilfe).
| 05. Okt | Do | Einführung. Bereiche und Anwendungen der Mathematik |
| 05. Okt | Do | Logik. Aussagen, Wahrheitswerte, logische Operationen, de-Morgan-Gesetze, Quantoren, Folgerung; Axiome, direkter Beweis, indirekter Beweis |
| 12. Okt | Do | Übungen |
| 12. Okt | Do | Mengenlehre. leere Menge, Mengenoperationen, de-Morgan-Gesetze, Eigenschaften, Produktmenge/Tupel |
| 19. Okt | Do | Relationen, Funktionen/Abbildungen, Umkehrabbildung |
| 19. Okt | Do | ditto |
| 26. Okt | Do | Übungen |
| 26. Okt | Do | Übungen; Lösung von Ungleichungen |
| 02. Nov | Do | Algebra. Zahlenbereiche: natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe Zahlen; Grundrechenarten; Assoziativität, Kommutativität, Distributivität; Intervall-Notation |
| 02. Nov | Do | Potenz, Logarithmus; Induktionsbeweis |
| 09. Nov | Do | Übungen |
| 09. Nov | Do | Rundungsfehler, Rechnen mit beliebig genauen Ganzzahlen, symbolische Computeralgebra |
| 16. Nov | Do | Übungen |
| 16. Nov | Do | Primzahlen, Primzahlzerlegung, kgV, ggT, Euklidischer Algorithmus für ggT |
| 23. Nov | Do | Gruppe, Ring, Körper; modulo, Restklassen GF(p) |
| 23. Nov | Do | modulare Potenz, Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch, RSA-Kryptographie |
| 30. Nov | Do | Übungen |
| 30. Nov | Do | Monome, Polynome, Horner-Schema, Polynomdivision, CRC (fehlerkorrigierende Codes) |
| 07. Dez | Do | Kombinatorik. Permutation, Fakultät, Binomialkoeffizient |
| 07. Dez | Do | Grundlagen der linearen Algebra. Rn als Muster eines Vektorraums, Ortsvektoren; Vektoraddition, Multiplikation mit Skalar, gemischte Distributivität; Skalarprodukt, geometrische Deutung, Orthogonalität; Betrag, Dreiecksungleichung, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |
| 14. Dez. | Do | Übungen |
| 14. Dez | Do | Gerade, Ebene; Normalenformen, Abstand |
| 21. Dez | Do | Unterraum, lineare Abhängigkeit, Basis, Dimension, Kronecker-Delta, Orthonormalbasis |
| 21. Dez | Do | Matrizen, Multiplikation von Matrizen mit Vektoren und mit Matrizen; Spalten- und Zeilenvektoren, Transposition, Symmetrie |
| 11. Jan | Do | Übungen |
| 11. Jan | Do | lineare Abbildungen (Beispiele für Skalierung, Scherung, Drehung, Spiegelung), affine Abbildungen; Nichtkommutativität; Matrizennorm |
| 18. Jan | Do | Determinate, Volumentransformation, Parallelepiped, Rechenregeln |
| 18. Jan | Do | Entwicklung einer Determinante, weitere Rechenregeln; Spatprodukt, Vektorprodukt |
| 25. Jan | Do | weiter: Entwicklung einer Determinante |
| 25. Jan | Do | Übungen |
| Wiederholung Lineare Algebra |
| inhomogene/homogene lineare Gleichungssysteme, Cramersche Regel, inverse Matrix, reguläre/singuäre Matrizen; Existenz von Lösungen, Bild und Rang einer Matrix, voller Rang |
| Eindeutigkeit von Lösungen, zugehöriges homogenes lineares Gleichungssystem, Kern; Rang + dim Kern = dim Definitionsbereich; Lösbarkeit und Eindeutigkeit der Lösung bei n Gleichungen und m Unbekannten; Beispiele: Schnittmengen von Geraden und Ebenen |
| Nachteile der Cramerschen Regel; Lösung linearer Gleichungssysteme mit beliebiger Zahl von Gleichungen und Unbekannten mittels Gaußschem Eliminationsverfahren, Beispiele für leere Lösungmenge und für uneindeutige Lösungen, numerische Stabilität, Spaltenpivotisierung |
| Eigenwert, Eigenvektor, charakteristisches Polynom, Eigenraum |
| Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Drehungen in der Gaußschen Zahlenebene, exp, sin, cos, e, pi, Euler-Formel; polare Zerlegung; Additionstheoreme |
| sinh, cosh; tan; Periodizität; Arcus-Funktionen |
| Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen; Fundamentalsatz der Algebra |
| Hauptachsentransformation reeller symmetrischer Matrizen |
| orthogonale Matrizen O(n) und SO(n); Darstellungen mit Givens-Drehungen und Exponentialfunktion; Darstellung von SO(3) mit Euler-Winkeln |
| Elementare Topologie. Euler-Formel für Polyeder, Genus; Orientierbarkeit; fraktale Dimension |
| Reelle eindimensionale Analysis. Folgen, Beschränktheit, Monotonie; Häufungspunkte, Konvergenz und Grenzwerte von Folgen; Rechenregeln |
| Reihen, bedingte und absolute Konvergenz sowie Summe einer unendlichen Reihe, Konvergenzkriterien, Rechenregeln |
| Funktionen einer reellen Variablen, Nullstelle, Monotonie, Umkehrbarkeit, Umkehrfunktion, elementare Funktionen, reelle Polynome, gebrochenrationale Funktionen, Pole, Asymptoten |
| Grenzwerte von Funktionen, einseitige Grenzwerte,
Stetigkeit, Rechenregeln für Grenzwerte stetiger Funktionen
Zwischenwertsatz; Beschränktheit, Infimum, Supremum, Minimum, Maximum |
| Differentiation/Ableitung, Differenzierbarkeit, Rechenregeln für Ableitungen, Ableitungen elementarer Funktionen, mehrfache Differentiation |
| lokale Extrema, Monotonität, Sattelpunkte, konkave/konvexe Funktionen; implizite Ableitung; Satz von l'Hospital; numerische Differentiation |
| Flächeninhalt, Integrierbarkeit, bestimmtes Integral, uneigentliches Integral |
| Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung, Stammfunktion (unbestimmtes Integral), Grundintegrale |
| Rechenregeln für Integrale, Partialbruchzerlegung, partielle Integration, Substitution |
| numerische Integration (Trapez, Simpson, Gauß-Formeln, Monte-Carlo) |
| Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Taylor-Restformel, Funktionenreihen |
| Reelle mehrdimensionale Analysis. reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen; Darstellungsverfahren (Graphenflächen, Niveaulinien, Niveauflächen, Schnitte); Grenzwert, Stetigkeit |
| Gradient, partielle Ableitung, totale Differentiation, mehrdimensionale Kettenregel, mehrdimensionale Taylor-Formel |
| Hesse-Matrix, Extremwert; mehrdimensionale Integration, variable Grenzen |
| Integration durch mehrdimensionale Variablentransformation; kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten, sphärische Koordinaten |
| Kurve, Tangente, Kurvenintegral, Kurvenlänge |
| zweidimensionale Untermannigfaltigkeit, Oberflächenintegral, Flächeninhalt; vektorwertige Funktionen, Fluss |
| Kegelschnitte; Flächen zweiter Ordnung, Hauptachsentransformation |
| iterative Lösung linearer und nichtlinearer Gleichungssysteme: Banach-Fixpunktsatz, Ostrowski-Theorem, lineare/überlineare Konvergenz; binäre Teilung, Regula Falsi, Newton-Raphson; Jacobi, Gauß-Seidel, SOR |
| Approximation, kleinste Quadrate, Optimierung, Simulated Annealing, genetische Algorithmen |
| Komplexe Analysis, Funktionentheorie. komplexe Ableitung, analytische Funktionen |
| Integration längs Kurven im Komplexen, Cauchy-Integralformel |
| analytische Funktionen sind beliebig oft differenzierbar, Laurent-Reihe |
| Potenzreihen, Konvergenzradius |
| Differentiation und Integration durch Reihenentwicklung |
| Funktionstransformationen. Fourier-Transformation periodischer Funktionen |
| FFT |
| Cosinus-Transformation, DCT |
| Wiederholung Fourier-Transformation |
| Fourier-Transformation nichtperiodischer Funktionen |
| Nyquist-Theorem, Rekonstruktion, Windowing |
| Wavelet-Transformation, DWT |
| Laplace-Transformation |
| Differentialgleichungen. Grundlagen gewöhnlicher Differentialgleichungen; besondere Typen erster Ordnung: getrennte Variablen, exakte Differentialgleichungen |
| Grundlagen der numerischen Lösung; Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen; lineare Differentialgleichungen erster Ordnung |
| lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, explizite Differentialgleichungen beliebiger Ordnung |
| lineare Differentialgleichungen beliebiger Ordnung mit konstanten Koeffizienten; Superpositionsprinzip; homogene und inhomogene Typen; Fundamentalsystem, Variation der Konstanten |
| Lösung von linearen Differentialgleichungen mittels Laplace-Transformation |
| Faltungssatz; Lösung von linearen Differentialgleichungen mittels Fourier-Transformation |
| numerische Lösung von Anfangswertproblemen, Euler, Runge-Kutta |
| Grundlagen partieller Differentialgleichungen |
| numerische Lösung von Randwertproblemen, Variationsgleichung, Grundlagen finiter Elemente |
| Stochastik. Ereignis, Wahrscheinlichkeit, Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz |
| diskrete und kontinuierliche Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte; Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit |
| Binomialverteilung, Normalverteilung, Poissonverteilung; Zentraler Grenzwertsatz |
| Zufallszahlengeneratoren und ihre Güte, Erzeugen vorgegebener Verteilungen |
| Statistik. Schätzungen für Erwartungswert und Varianz, Maximum Likelihood, Konfidenz, Prüfung von Hypothesen, chi2 |
| Dynamische Systeme. Zufallsprozesse, Brownsche Bewegung, Diffusion, Weißes Rauschen; Warteschlangen |
| deterministisches Chaos, Entropie, Strange Attractors |
Mathematik für Fortgeschrittene
letzte Änderung: 20. Januar 2001