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Mathematik für Ingenieure

"Mathematik für Ingenieure" ist eine drei Semester lange Pflichtveranstaltung des Grundstudiums Technische Informatik.

Alle letzten Änderungen dieser Webseite sind durch rote Schrift gekennzeichnet!
 

Ziel

Diese Veranstaltung soll die Mathematik vermitteln, die in den anwendungsorientierten Bereichen der Informatik benötigt wird. Die Spannweite reicht von Differentialgleichungen und analytischer Geometrie bis hin zu Kryptografie und Statistik. Numerische Verfahren stellen einen wesentlichen Teil des Stoffes. Sie werden nicht getrennt abgehandelt, sondern im jeweiligen Themenzusammenhang erklärt.

Der Schwerpunkt liegt auf praxisbezogenem Wissen, nicht auf der Vermittlung abstrakter Konstruktionen oder entlegener mathematischer Beweise. Dort, wo Beweise für Anwendungen wichtige Einblicke liefern, geht die Vorlesung aber sogar über das übliche Maß hinaus (z.B. Beweis der Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung mittels Euklidischem Algorithmus, Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra mittels Windungszahlen).
 

Vorkenntnisse

Zur meiner Orientierung habe ich 19 kleine Fragen vorbereitet. Laden Sie bitte das Zip-Archiv herunter, entpacken es und öffnen Sie die HTML-Datei der obersten Ebene in einem Browser mit eingeschaltetem JavaScript (getestet mit aktuellem Internet Explorer®, Netscape® Navigator und Opera®; bitte bei Problemen E-Mail an mich). Verwenden Sie höchstens eine halbe Minute (30 Sekunden, nicht länger!) auf jede der Fragen; wissen Sie nach dieser Zeit keine Antwort, klicken Sie auf "weiß nicht". Am Schluss haben Sie Wahl, mir die Liste Ihrer Antworten entweder direkt aus dem Browser zuzumailen (Dessen E-Mail muss dazu konfiguriert sein!) oder eine Zahlenkolonne per Zwischenablage in eine E-Mail zu kopieren. Es kann passieren, dass bei "manuell eine Mail erzeugen" nur ein Fenster mit einem leeren Zahlenfeld erscheint. In diesem Fall schließen Sie dieses Fenster und wählen nochmal "manuell eine Mail erzeugen".
 

Prüfungsleistungen

Die Prüfungsleistungen bestehen in fünf Klausuren (Bezeichnung laut Prüfungsordnung: "schriftliche Arbeit unter Aufsicht"):

Unterrichtsform

Die Vorlesung ist seminaristisch; ich werde also versuchen, den Stoff im Gespräch mit Ihnen zu erarbeiten. Wenn Sie nicht folgen können, bremsen Sie mich sofort, indem Sie nachfragen. Das ist eine strikte Anweisung an Sie, keine freundliche Empfehlung. Sie können davon ausgehen, dass andere Studenten dieselben Probleme haben -- das aber nicht kundtun. Um eine Frage zu stellen, müssen Sie sich nicht mit Handzeichen melden. Unterbrechen Sie mich einfach bei der nächstmöglichen Gelegenheit.
 

Skript

Meine Unterlagen scanne ich ein und stelle sie zum Download bereit. Ich hoffe, meine Schrift ist halbwegs lesbar; ansonsten melden Sie sich bitte zwecks Entzifferung. Die Seiten etwa mit pdfTeX und einem Grafikprogramm sauber aufzubereiten, würde mich mehrere Stunden pro Vorlesung kosten. Diese Zeit möchte ich lieber dazu benutzen, an der Didaktik zu arbeiten.

Eingeschobene Seiten sind nach dem Muster 10, 10a, 10b, 11 nummeriert. Ändere ich Skripte im Nachhinein z.B. wegen Fehlern (Sollten die etwa jemals passieren? ;-), stelle ich zusätzlich eine kommentierende HTML-Datei in das jeweilige Verzeichnis.

Mangels Zeit ausgelassene Stellen markiere ich mit einer Wellenlinie am linken Rand. Diese Stellen sollten Sie zwar zur Kenntnis nehmen, Teil der Prüfungen sind sie aber nicht.
 

Übungen

Mit Hilfe der Übungen sollen Sie lernen, selbstständig an mathematischen Problemen zu arbeiten und Ihre Lösungen -- oder Ihre Probleme bei der Suche danach -- im Kreis der Mitstudenten zu präsentieren bzw. zu diskutieren. Dazu stelle ich Aufgaben, die Sie außerhalb der Veranstaltungen bearbeiten sollen. Viele wichtige mathematische Tatsachen werden nicht ausdrücklich in der Vorlesung behandelt, sondern sind Teil von Übungsaufgaben. Die Aufgaben der Übungen gleichen den Aufgaben der Klausuren und sind damit eine ideale Vorbereitung -- auch, was die Stressbewältigung angeht. Nutzen Sie diese Chance.

Bei Problemen mit den Aufgaben können Sie mich jederzeit anmailen. Oder helfen Sie sich selbst und lösen die Aufgaben z.B. in einer Zwei- oder Vierergruppe.

Ich empfehle Ihnen dringend, die Lösungen aufzuschreiben und mir per E-Mail oder auf Papier zur Korrektur zu geben. Sie können mir Lösungen auch im Nachhinein vorlegen, sogar noch in der vorlesungsfreien Zeit.

Die Teilnahme an den Übungen und der Erfolg bei abgegebenen Übungsaufgaben hat in dieser Veranstaltung keinen Einfluss auf die Benotung. Wenn Sie wollen, reichen Sie mir die Lösungen anonym ein, auch wenn ich sie nachsehen soll.
 

Literatur

Ich habe möglichst günstige und kompakte Bücher gesucht: Zusammen decken beide Bücher alle drei Semester weitgehend ab. Dabei wird der Stoff von "Numerische Mathematik" nur zum Teil behandelt; also nicht erschrecken beim Aufschlagen des Buchs!

Diese Bücherliste ist bloß ein Hinweis für Unentschlossene. Welches Medium und welches Lehrmaterial Sie am besten unterstützt, können Sie nur per Selbstversuch feststellen. Das wohl knappste und zugleich tiefschürfendeste ;-) jemals verfasste Mathematikbuch ist nur auf Englisch erhältlich und leider inzwischen schwer zu beschaffen.

Dank Internet kommt man im mathematischen Alltag ohne Bücher aus -- entsprechende Englischkenntnisse vorausgesetzt. Das griechische Alphabet findet sich noch auf einer deutschen Site. Wolfram Research stellt eine englischsprachige Mathematik-Enzyklopädie bereit. Nach Themen gegliederte Querverweise zu Vorlesungsmaterialien etc. finden sich in den Mathematics Archives. Aber Vorsicht: Viele Fachbegriffe lauten im Englischen anders, als man erwarten könnte (Übersetzungshilfe).
 

Software

Zum Betrachten von Funktionskurven und -flächen sowie Ableitungen eignet sich sehr gut das Java-Applet xFunctions. Es führt außerdem die Integration mit Riemannschen Summen vor, erlaubt, mehrere Funktionen zu vergleichen, zeichnet parametrische Kurven und integriert Differentialgleichungssysteme erster Ordnung.
 

Raum und Zeit

Dienstag 1. Doppelstunde E400, Mittwoch 1. Doppelstunde E400, Donnerstag 4. Doppelstunde E404
 

Termine

04. Okt Mi Einführungstag für Erstsemester. Keine Vorlesung.
05. Okt Do Einführung. Bereiche und Anwendungen der Mathematik
10. Okt Di Logik. Aussagen, Wahrheitswerte, logische Operationen, de-Morgan-Gesetze, Quantoren, Folgerung; Axiome, direkter Beweis, indirekter Beweis
11. Okt Mi Mengenlehre. leere Menge, Mengenoperationen, de-Morgan-Gesetze, Eigenschaften, Produktmenge/Tupel
12. Okt Do Relationen, Funktionen/Abbildungen, Umkehrabbildung
17. Okt Di Übungen
18. Okt Mi Übungen; Lösung von Ungleichungen
19. Okt Do Algebra. Zahlenbereiche: natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe Zahlen; Grundrechenarten; Assoziativität, Kommutativität, Distributivität; Intervall-Notation
24. Okt Di Übungen
25. Okt Mi Potenz, Logarithmus; Induktionsbeweis
26. Okt Do Rundungsfehler, Rechnen mit beliebig genauen Ganzzahlen, symbolische Computeralgebra
31. Okt Di Übungen
01. Nov Mi Primzahlen, Primzahlzerlegung, kgV, ggT, Euklidischer Algorithmus für ggT
02. Nov Do Gruppe, Ring, Körper; modulo, Restklassen GF(p)
07. Nov Di Übungen
08. Nov Mi modulare Potenz, Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch, RSA-Kryptographie
09. Nov Do Monome, Polynome, Horner-Schema, Polynomdivision, CRC (fehlerkorrigierende Codes)
14. Nov Di Übungen
15. Nov Mi Kombinatorik. Permutation, Fakultät, Binomialkoeffizient
16. Nov Do Grundlagen der linearen Algebra. Rn als Muster eines Vektorraums, Ortsvektoren; Vektoraddition, Multiplikation mit Skalar, gemischte Distributivität; Skalarprodukt, geometrische Deutung, Orthogonalität; Betrag, Dreiecksungleichung, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
21. Nov Di Übungen
22. Nov Mi Gerade, Ebene; Normalenformen, Abstand
23. Nov Do Unterraum, lineare Abhängigkeit, Basis, Dimension, Kronecker-Delta, Orthonormalbasis
28. Nov Di Übungen
29. Nov Mi Matrizen, Multiplikation von Matrizen mit Vektoren und mit Matrizen; Spalten- und Zeilenvektoren, Transposition, Symmetrie
30. Nov Do lineare Abbildungen (Beispiele für Skalierung, Scherung, Drehung, Spiegelung), affine Abbildungen; Nichtkommutativität; Matrizennorm
05. Dez Di Übungen
06. Dez Mi Determinate, Volumentransformation, Parallelepiped, Rechenregeln
07. Dez Do Entwicklung einer Determinante, weitere Rechenregeln; Spatprodukt, Vektorprodukt
12. Dez Di Übungen
13. Dez Mi inhomogene/homogene lineare Gleichungssysteme, Cramersche Regel, inverse Matrix, reguläre/singuäre Matrizen; Existenz von Lösungen, Bild und Rang einer Matrix, voller Rang
14. Dez Do Eindeutigkeit von Lösungen, zugehöriges homogenes lineares Gleichungssystem, Kern; Rang + dim Kern = dim Definitionsbereich; Lösbarkeit und Eindeutigkeit der Lösung bei n Gleichungen und m Unbekannten; Beispiele: Schnittmengen von Geraden und Ebenen
19. Dez Di Übungen
20. Dez Mi Nachteile der Cramerschen Regel; Lösung linearer Gleichungssysteme mit beliebiger Zahl von Gleichungen und Unbekannten mittels Gaußschem Eliminationsverfahren, Beispiele für leere Lösungmenge und für uneindeutige Lösungen, numerische Stabilität, Spaltenpivotisierung
21. Dez Do Eigenwert, Eigenvektor, charakteristisches Polynom, Eigenraum
09. Jan Di Übungen
10. Jan Mi Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Drehungen in der Gaußschen Zahlenebene, exp, sin, cos, e, pi, Euler-Formel; polare Zerlegung; Additionstheoreme
11. Jan Do sinh, cosh; tan; Periodizität; Arcus-Funktionen
16. Jan Di Übungen
17. Jan Mi Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen; Fundamentalsatz der Algebra
18. Jan Do Drehungen und Spiegelungen im R2, orthogonale Matrizen; Hauptachsentransformation, Diagonalisierung reeller symmetrischer Matrizen
23. Jan Di Übungen
24. Jan Mi Übungen
25. Jan Do Übungen
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Planung für das zweite Semester

Elementare Topologie. Euler-Formel für Polyeder, Genus; Orientierbarkeit; fraktale Dimension
Reelle eindimensionale Analysis. Folgen, Beschränktheit, Monotonie; Häufungspunkte, Konvergenz und Grenzwerte von Folgen; Rechenregeln
Reihen, bedingte und absolute Konvergenz sowie Summe einer unendlichen Reihe, Konvergenzkriterien, Rechenregeln
Funktionen einer reellen Variablen, Nullstelle, Monotonie, Umkehrbarkeit, Umkehrfunktion, elementare Funktionen, reelle Polynome, gebrochenrationale Funktionen, Pole, Asymptoten
Grenzwerte von Funktionen, einseitige Grenzwerte, Stetigkeit, Rechenregeln für Grenzwerte stetiger Funktionen
Zwischenwertsatz; Beschränktheit, Infimum, Supremum, Minimum, Maximum
Differentiation/Ableitung, Differenzierbarkeit, Rechenregeln für Ableitungen, Ableitungen elementarer Funktionen, mehrfache Differentiation
lokale Extrema, Monotonität, Sattelpunkte, konkave/konvexe Funktionen; implizite Ableitung; Satz von l'Hospital; numerische Differentiation
Flächeninhalt, Integrierbarkeit, bestimmtes Integral, uneigentliches Integral
Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung, Stammfunktion (unbestimmtes Integral), Grundintegrale
Rechenregeln für Integrale, Partialbruchzerlegung, partielle Integration, Substitution
numerische Integration (Trapez, Simpson, Gauß-Formeln, Monte-Carlo)
Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Taylor-Restformel, Funktionenreihen
Reelle mehrdimensionale Analysis. reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen; Darstellungsverfahren (Graphenflächen, Niveaulinien, Niveauflächen, Schnitte); Grenzwert, Stetigkeit
Gradient, partielle Ableitung, totale Differentiation, mehrdimensionale Kettenregel, mehrdimensionale Taylor-Formel
Hesse-Matrix, Extremwert; mehrdimensionale Integration, variable Grenzen
Integration durch mehrdimensionale Variablentransformation; kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten, sphärische Koordinaten
Kurve, Tangente, Kurvenintegral, Kurvenlänge
zweidimensionale Untermannigfaltigkeit, Oberflächenintegral, Flächeninhalt; vektorwertige Funktionen, Fluss
Kegelschnitte; Flächen zweiter Ordnung, Hauptachsentransformation
iterative Lösung linearer und nichtlinearer Gleichungssysteme: Banach-Fixpunktsatz, Ostrowski-Theorem, lineare/überlineare Konvergenz; binäre Teilung, Regula Falsi, Newton-Raphson; Jacobi, Gauß-Seidel, SOR
Approximation, kleinste Quadrate, Optimierung, Simulated Annealing, genetische Algorithmen
Komplexe Analysis, Funktionentheorie. komplexe Ableitung, analytische Funktionen
Integration längs Kurven im Komplexen, Cauchy-Integralformel
analytische Funktionen sind beliebig oft differenzierbar, Laurent-Reihe
Potenzreihen, Konvergenzradius
Differentiation und Integration durch Reihenentwicklung
Funktionstransformationen. Fourier-Transformation periodischer Funktionen
FFT
Cosinus-Transformation, DCT
Fourier-Transformation nichtperiodischer Funktionen
Nyquist-Theorem, Rekonstruktion, Windowing
Wavelet-Transformation, DWT
Laplace-Transformation
Differentialgleichungen. Grundlagen gewöhnlicher Differentialgleichungen; besondere Typen erster Ordnung: getrennte Variablen, exakte Differentialgleichungen
Grundlagen der numerischen Lösung; Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen; lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, explizite Differentialgleichungen beliebiger Ordnung
lineare Differentialgleichungen beliebiger Ordnung mit konstanten Koeffizienten; Superpositionsprinzip; homogene und inhomogene Typen; Fundamentalsystem, Variation der Konstanten
Lösung von linearen Differentialgleichungen mittels Laplace-Transformation
Faltungssatz; Lösung von linearen Differentialgleichungen mittels Fourier-Transformation
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Planung für das dritte Semester

Wiederholung Differentialgleichungen
numerische Lösung von Anfangswertproblemen, Euler, Runge-Kutta
Grundlagen partieller Differentialgleichungen
numerische Lösung von Randwertproblemen, Variationsgleichung, Grundlagen finiter Elemente
Stochastik. Ereignis, Wahrscheinlichkeit, Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz
diskrete und kontinuierliche Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte; Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit
Binomialverteilung, Normalverteilung, Poissonverteilung; Zentraler Grenzwertsatz
Zufallszahlengeneratoren und ihre Güte, Erzeugen vorgegebener Verteilungen
Statistik. Schätzungen für Erwartungswert und Varianz, Maximum Likelihood, Konfidenz, Prüfung von Hypothesen, chi2
Dynamische Systeme. Zufallsprozesse, Brownsche Bewegung, Diffusion, Weißes Rauschen; Warteschlangen
deterministisches Chaos, Entropie, Strange Attractors
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Mathematik für Fortgeschrittene

letzte Änderung: 16. Februar 2001