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Mathematik für Informatiker 2

"Mathematik für Informatiker" ist eine drei Semester lange Pflichtveranstaltung des Grundstudiums Medieninformatik.

Alle letzten Änderungen dieser Webseite sind durch rote Schrift gekennzeichnet!
letzte Änderung: 20. Juli 2001
 

Ziel

Diese Veranstaltung soll die Mathematik vermitteln, die in den anwendungsorientierten Bereichen der Informatik benötigt wird. Die Spannweite reicht von Differentialgleichungen und analytischer Geometrie bis hin zu Kryptografie und Statistik. Numerische Verfahren stellen einen wesentlichen Teil des Stoffes. Sie werden soweit möglich nicht getrennt abgehandelt, sondern im jeweiligen Themenzusammenhang erklärt. Der Schwerpunkt liegt auf praxisbezogenem Wissen, nicht auf der Vermittlung abstrakter Konstruktionen oder entlegener mathematischer Beweise. Dort, wo Beweise für Anwendungen wichtige Einblicke liefern, geht die Vorlesung aber sogar über das übliche Maß hinaus.
 

Prüfungsleistungen

Die Prüfungsleistungen bestehen in zwei Klausuren (Bezeichnung laut Prüfungsordnung: "schriftliche Arbeit unter Aufsicht"):

 

Unterrichtsform

Die Vorlesung ist seminaristisch; ich werde also versuchen, den Stoff im Gespräch mit Ihnen zu erarbeiten. Wenn Sie nicht folgen können, bremsen Sie mich sofort, indem Sie nachfragen. Das ist eine strikte Anweisung an Sie, keine freundliche Empfehlung. Sie können davon ausgehen, dass andere Studenten dieselben Probleme haben -- das aber nicht kundtun. Um eine Frage zu stellen, müssen Sie sich nicht mit Handzeichen melden. Unterbrechen Sie mich einfach bei der nächstmöglichen Gelegenheit.
 

Skript

Meine Unterlagen scanne ich ein und stelle sie zum Download bereit. Ich hoffe, meine Schrift ist halbwegs lesbar; ansonsten melden Sie sich bitte zwecks Entzifferung. Die Seiten etwa mit pdfTeX und einem Grafikprogramm druckreif aufzubereiten, würde mich mehrere Stunden pro Vorlesung kosten. Diese Zeit möchte ich lieber dazu benutzen, an der Didaktik zu arbeiten.

Eingeschobene Seiten sind nach dem Muster 10, 10a, 10b, 11 nummeriert. Ändere ich Skripte oder Aufgaben im Nachhinein (vor allem, um Fehler zu beseitigen), stelle ich zusätzlich eine kommentierende HTML-Datei in das jeweilige Verzeichnis. Mangels Zeit ausgelassene Stellen markiere ich mit einer Wellenlinie am linken Rand. Diese Stellen sollten Sie zwar zur Kenntnis nehmen, Teil der Prüfungen sind sie aber nicht.
 

Übungen

Mit Hilfe der Übungsaufgaben sollen Sie lernen, selbstständig an mathematischen Problemen zu arbeiten und Ihre Lösungen -- oder Ihre Probleme bei der Suche danach -- im Kreis der Mitstudenten zu präsentieren bzw. zu diskutieren. Dazu stelle ich Aufgaben, die Sie außerhalb der Veranstaltungen bearbeiten sollen. Einige wichtige mathematische Tatsachen und Techniken werden nicht ausdrücklich in der Vorlesung behandelt, sondern sind Teil von Übungsaufgaben. Die Aufgaben der Übungen gleichen den Aufgaben der Klausuren und sind damit eine ideale Vorbereitung -- auch, was die Stressbewältigung angeht. Nutzen Sie diese Chance.

Bei Problemen mit den Aufgaben können Sie mich jederzeit anmailen. Oder helfen Sie sich selbst und lösen die Aufgaben z.B. in einer Zwei- oder Vierergruppe. Ich empfehle Ihnen dringend, die Lösungen aufzuschreiben und mir per E-Mail oder auf Papier zur Korrektur zu geben. Sie können mir Lösungen auch im Nachhinein vorlegen, sogar noch in der vorlesungsfreien Zeit. Die Teilnahme an den Übungen und der Erfolg bei abgegebenen Übungsaufgaben hat in dieser Veranstaltung keinen Einfluss auf die Benotung. Wenn Sie wollen, reichen Sie mir die Lösungen anonym ein, auch wenn ich sie nachsehen soll.
 

Literatur

Ich habe möglichst günstige und kompakte Bücher gesucht: Zusammen decken beide Bücher alle drei Semester weitgehend ab. Dabei wird der Stoff von "Numerische Mathematik" nur zum Teil behandelt; also nicht erschrecken beim Aufschlagen des Buchs!

Diese Bücherliste ist bloß ein Hinweis für Unentschlossene. Welches Medium und welches Lehrmaterial Sie am besten unterstützt, können Sie nur per Selbstversuch feststellen. Dank Internet kommt man im mathematischen Alltag ohne Bücher aus -- entsprechende Englischkenntnisse vorausgesetzt. Fragen und Antworten auf Deutsch gibts bei ZahlReich. Nach Themen gegliederte Querverweise zu Vorlesungsmaterialien etc. finden sich in den Mathematics Archives. Aber Vorsicht: Viele Fachbegriffe lauten im Englischen anders, als man erwarten könnte (Übersetzungshilfe).
 

Software

Zum Betrachten von Funktionskurven und -flächen sowie Ableitungen eignet sich sehr gut das Java-Applet xFunctions. Es führt außerdem die Integration mit Riemannschen Summen vor, erlaubt, mehrere Funktionen zu vergleichen, zeichnet parametrische Kurven und integriert Differentialgleichungssysteme erster Ordnung.
 

Raum und Zeit

nach Osterpause geändert: Donnerstag 4. und 5. Doppelstunde, E500; Freitag, 1. und 2. Doppelstunde E405
 

Termine

was bisher geschah: Webseite zum ersten Semester
 
13..Mär Di Wiederholung Lineare Algebra
15. Mär Do verbliebene Übungsaufgaben vom letzten Semester
16. Mär Fr inhomogene/homogene lineare Gleichungssysteme; so viele Gleichungen wie Unbekannte: Cramersche Regel, inverse Matrix, reguläre/singuäre Matrizen; n Gleichungen und m Unbekannte: Existenz von Lösungen, Bild und Rang einer Matrix, voller Rang
16. Mär Fr verbliebene Übungsaufgaben vom letzten Semester
20. Mär Di n Gleichungen und m Unbekannte: Eindeutigkeit von Lösungen, zugehöriges homogenes lineares Gleichungssystem, Kern; Rang + dim Kern = dim Definitionsbereich; Beispiele: Schnittmengen von Geraden und Ebenen
22. Mär Do verbliebene Übungsaufgaben vom letzten Semester
23. Mär Fr Nachteile der Cramerschen Regel; Lösung linearer Gleichungssysteme mit beliebigen Zahlen von Gleichungen und Unbekannten mittels Gaußschem Eliminationsverfahren, Beispiele für leere Lösungmenge und für mehrdeutige Lösungen, numerische Stabilität, Spaltenpivotisierung
23. Mär Fr Übungen
26. Mär Mo Von Freitag vorgezogen: 3. Doppelstunde E404. Eigenwert, Eigenvektor, charakteristisches Polynom, Eigenraum
26. Mär Mo Von Freitag vorgezogen: 4. Doppelstunde E407. Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Drehungen in der Gaußschen Zahlenebene, exp, sin, cos, e, pi, Euler-Formel; polare Zerlegung; Additionstheoreme
27. Mär Di weiter: exp
29. Mär Do weiter: Drehungen in der Gaußschen Zahlenebene
19. Apr Do weiter sin, cos, e, pi, Euler-Formel; polare Zerlegung; Additionstheoreme; sinh, cosh; tan; Periodizität; Arcus-Funktionen (Skript: siehe Datei 2001-03-28)
19. Apr Do Übungen
20. Apr Fr Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen; Fundamentalsatz der Algebra (Skript: siehe Datei 2001-03-20a)
20. Apr Fr Übungen
26. Apr Do Drehungen und Spiegelungen im R2 (Skript: siehe Datei 2001-03-20b)
26. Apr Do Übungen
27. Apr Fr Reelle eindimensionale Analysis. Folgen, Beschränktheit, Monotonie; Konvergenz und Grenzwerte von Folgen; Rechenregeln
27. Apr Fr Übungen
03. Mai Do Reihen, bedingte und absolute Konvergenz sowie Summe einer unendlichen Reihe, Konvergenzkriterien, Rechenregeln
03. Mai Do Übungen
04. Mai Fr Funktionen einer reellen Variablen, Nullstelle, Monotonie, Umkehrbarkeit, Umkehrfunktion, elementare Funktionen, reelle Polynome, gebrochenrationale Funktionen, Pole, Asymptoten
04. Mai Fr Übungen
10. Mai Do Grenzwerte von Funktionen, einseitige Grenzwerte, Stetigkeit, Rechenregeln für Grenzwerte stetiger Funktionen
Zwischenwertsatz; Minimum, Maximum
10. Mai Do Übungen
11. Mai Fr Differentiation/Ableitung, Differenzierbarkeit, Rechenregeln für Ableitungen, Ableitungen elementarer Funktionen, mehrfache Differentiation
11. Mai Fr Übungen
17. Mai Do lokale Extrema, Monotonität, Sattelpunkte, konkave/konvexe Funktionen; implizite Ableitung; Satz von l'Hospital
17. Mai Do Übungen
18. Mai Fr Flächeninhalt, Rechenregeln für Integrale, Integrierbarkeit, bestimmtes Integral, uneigentliches Integral
18. Mai Fr Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung, Stammfunktion (unbestimmtes Integral), Grundintegrale
29. Mai Di Terminänderung, 3. Block, E405, Partialbruchzerlegung, partielle Integration, Substitution
31. Mai Do numerische Differentiation; numerische Integration (Trapez, Simpson)
31. Mai Do Übungen
01. Jun Fr Taylor-Reihe
01. Jun Fr Übungen
05. Jun Di Terminänderung, 3. Block, E401, Potenzreihen, Konvergenzradius
07. Jun Do 4. Block: Vortrag "Test von Web-Anwendungen" (Veranstalter: Kollege Spillner) in Raum E500 oder E400. Zum Ausgleich Zusatztermin am Dienstag, den 12. Juni.
5. Block: Reelle mehrdimensionale Analysis. reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher; Darstellungsverfahren (Graphenflächen, Niveaulinien, Niveauflächen, Schnitte), Grenzwert, Stetigkeit
08. Jun Fr (Fortsetzung von Do)
08. Jun Fr Übungen
12. Jun Di Zusatztermin, 3. Block, E401, Gradient, partielle Ableitung, totales Differential
14. Jun Do Hesse-Matrix und lokale Extrema in 2D 
14. Jun Do Übungen
15. Jun Fr mehrdimensionale Integration, variable Grenzen; kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten, sphärische Koordinaten
15. Jun Fr Übungen
21. Jun Do Kurve, Tangente, Kurvenlänge, Fläche von Funktionsflächen
21. Jun Do Übungen
22. Jun Fr Kegelschnitte; Flächen zweiter Ordnung
22. Jun Fr Übungen
28. Jun Do iterative Lösung von (nichtlinearen) Gleichungen und Gleichungssystemen: binäre Teilung, Sekantenverfahren, Newton-Verfahren; Iteration von Funktionen, Banachscher Fixpunktsatz, anziehende Fixpunkte
28. Jun Do kein Prüfungsstoff: abstoßende Fixpunkte, Iteration der logistischen Gleichung, Feigenbaum-Diagramm, Julia-Mengen, Mandelbrot-Menge
29. Jun Fr Funktionstransformationen. Fourier-Transformation periodischer Funktionen (Fourier-Reihe)
29. Jun Fr Übungen
05. Jul Do Fourier-Transformation nichtperiodischer Funktionen
05. Jul Do Übungen
06. Jul Fr Cosinus-Transformation
06. Jul Fr Übungen
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Planung für das nächste Semester

Wiederholung Fourier-Transformation
FFT, DCT
Nyquist-Theorem, Rekonstruktion, Windowing
Wavelet-Transformation, DWT
Laplace-Transformation
Differentialgleichungen. Grundlagen gewöhnlicher Differentialgleichungen; Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, Anfangswerte; lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, explizite Differentialgleichungen beliebiger Ordnung
lineare Differentialgleichungen beliebiger Ordnung mit konstanten Koeffizienten; Superpositionsprinzip; homogene und inhomogene Typen; charakteristische Gleichung; Fundamentalsystem, Variation der Konstanten
Lösung von linearen Differentialgleichungen mittels Laplace-Transformation
Faltungssatz; Lösung von linearen Differentialgleichungen mittels Fourier-Transformation
numerische Lösung von Anfangswertproblemen: Polygon, Euler, Heun, Runge-Kutta
Grundlagen partieller Differentialgleichungen
numerische Lösung von Randwertproblemen, Grundlagen finiter Elemente
Stochastik. Ereignis, Wahrscheinlichkeit, Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz
diskrete und stetige Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte; Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit
Binomialverteilung, Normalverteilung, Poissonverteilung; Zentraler Grenzwertsatz
Zufallszahlengeneratoren und ihre Güte, Erzeugen vorgegebener Verteilungen
Statistik. Schätzungen für Erwartungswert und Varianz, Maximum Likelihood, Konfidenz, Prüfung von Hypothesen, chi2