Überlebenshilfen Mathematik

Überlebenshilfen Mathematik

Jörn Loviscach, letzte Änderung (rot markiert) am 2003-05-29

Gleichheitszeichen und Typen von Ausdrücken

Links und rechts von einem Gleichheitszeichen können nur gleiche "Typen" stehen: Zahl = Zahl, Vektor = (gleichartiger) Vektor, Menge = Menge, Funktion = Funktion usw. Zum Beispiel:

42 = 42
3 = 4 [falsche Aussage, aber grammatisch ok]
p = (3, 4, 5)
L = {sin(42°), cos(7°)}
f = tan

Stehen links und rechts dagegen verschiedene Typen, entsteht Kauderwelsch:

42 = (5, 6, 7)
{3, 4} = tan

Gegebenenfalls kann man solche Ausdrücke erlaube und definieren, dass sie immer den Wahrheitswert "falsch" haben: Zwei Objekte von verschiedenem Typ können nie gleich sein. Sicherer ist allerdings, solche Ausdrücke nie auftauchen zu lassen.

Folgepfeile, logische Operatoren und Typen von Ausdrücken

Die Pfeile ==>, <== und <==> sowie die Und-, Oder- und Nicht-Operatoren können nur mit logischen Aussagen (und Aussageformen) benutzt werden. Jede andere Verwendung führt nicht zu einer wahren oder einer falschen Aussage, sondern aus Sicht der Mathematik schlichtweg zu Unsinn ("Karl grün gingen wo.").
Korrekt:

x = 6 UND y < 5 ==> x*y<30
x = 6 UND y < 5 <==> x*y<30 [falsche Aussage, aber grammatisch ok]
z = 35 ODER z = 42
a = 1 UND a = 2 [falsche Aussage, aber grammatisch ok]
a ist eine gerade Zahl ==> a ist Element von Z

Kauderwelsch:

x = sin(y) ==> 42+7
z = 35 ODER 42 [elegante kurze Formulierung: z ist Element der Menge{35, 45}.]

Gleichungen erläutern

Praktisch keine Gleichung und keine Ungleichung kann unkommentiert stehen. Was soll zum Beispiel "ax = b" heißen?

Für alle reellen Zahlen x gilt ax = b.
Gesucht ist eine rationale Zahl x mit ax = b.
Die Gleichung ax = b lässt sich nicht mit ganzzahligen x lösen.
Die Zahl b wird definiert mittels ax = b. [Besser: b := ax mit Definitionszeichen Doppelpunkt-Gleich]
Es gibt keine zwei verschiedenen reellen Zahlen x mit ax = b.
...

Also immer dazuschreiben, was gemeint ist! Jeder Buchstabe, der nicht traditionell oder aus dem bisherigen Verlauf heraus bereits eine Bedeutung hat, muss quasi deklariert werden.

Voraussetzung und Folge

Verwechseln Sie nicht, was zu zeigen ist, mit dem, was gegeben ist. Stellen Sie ggf. eine Liste auf, was gegeben bzw. bekannt ist. Erweitern Sie diese Liste nach und nach um weitere, aus dem Gegebenen/Bekannten hergeleitete Punkte.

Beispiel und Beweis

Ein Beispiel macht noch keinen Beweis -- es sei denn, man erklärt oder es ist offensichtlich, wie sich das Beispiel auf den allgemeinen Fall (ohne Ausnahmen!) übertragen lässt. Am Beispiel durchexerzierte Beweise sind oft (aber nicht immer) leichter zu verstehen -- und leichter zu finden. Wie man die Übertragung aufs Allgemeine sauber fasst, ist allerdings eine höhere Kunst. Die meisten Fachbücher benutzen abstrakte Beweise.

George Pólya

Der wohl erste Mathematiker, der sich große Gedanken über Lösungsstrategien gemacht hat, war George Pólya (1887-1985). Seine Methode:

die Aufgabe verstehen (Was ist gesucht? Was gegeben? Skizze! Notation einführen! ...),
einen Plan entwickeln (Etwas Ähnliches bekannt? Problem umformulieren? Von dem Gesuchten ausgehen? ...),
den Plan ausführen (und jeden Schritt überprüfen ...),
zurückblicken (Kann man das Ergebnis bzw. den Weg testen? Kann man das Ergebnis anders erreichen? ...)

Einheiten

Seien Sie dankbar für Angaben mit Einheiten (4,3 Meter, 6 kg, 2000 Clicks pro Monat). Streichen Sie Einheiten nicht einfach weg, sondern benutzen Sie die als Fehlercheck. Wenn für eine Geschwindigkeit 42 kg/m herauskommt, ist offensichtlich etwas schief gelaufen. Ebenso kann man keinen Logarithmus etwa von 23,5 km bilden, sondern nur von einheitslosen Zahlen. Das Gleiche gilt für Exponentialfunktionen. Winkelfunktionen verlangen als Argument eine Winkelangabe. Falls nirgendwo in den benutzten Größen die Einheit Winkelgrad auftaucht, sind die Winkel im Bogenmaß zu verstehen, d.h. einheitslos.

Außerdem helfen Einheiten, physikalische Zusammenhänge zu finden. Beispiel: Von einer Sinuswelle mit 300 Hz soll der Wert für das Sample mit der Nummer n bei einer Abtastrate von 44.100 pro Sekunde angegeben werden. Lösung: sin(2*pi*300 Hz*n / (44.100/s)). Die Einheiten und die damit ausgedrückte Proportionalität lassen praktisch keine andere Wahl.

Korrektur lesen, Sonderfälle

Nachdem Sie einen mathematischen Text verfasst haben, lesen Sie den am besten abschließend noch einmal Satz für Satz durch:

Haben Sie wirklich geschrieben, was Sie sagen wollen?
Kann man etwas vereinfachen, weglassen oder klarer darstellen?
Sind alle Sonderfälle abgehandelt? (Division durch null, nicht eindeutige Lösungen, linear abhängige Vektoren usw.)

Text oder Formel?

Die elegantesten Begründungen kommen ohne (viele) Formeln aus. Wenn Sie entdecken, dass ein einfacher Sachverhalt zu einer überbordenden Rechnerei führt, denken Sie besser darüber nach, ob Ihr Weg effizient ist. Aber Achtung: Mathematische Begründungen müssen logisch wasserdicht sein -- ob mit vielen Formeln oder als reiner Text.

Vom Kleinen zum Großen

Ein oft hilfreicher Ansatz ist, ein Problem nicht sofort allgemein und abstrakt anzugehen, sondern es sich erst "im Kleinen" anzusehen, z.B. mit kleinen Zahlen. Suchen Sie nach Mustern, nach Spuren einer Lösung. Gibt es einen Weg, um ein "großes" Problem kleinzuhacken, zum Beispiel mit einer Rekursionsgleichung? (Teile und herrsche!)