2004-03-14

Aufgabe 1

Für welche Zahlen a, b ist folgendes Gleichungssystem in x, y lösbar? Für welche nicht? Für welche a, b existieren mehrere verschiedene Lösungen?
{ 2x + 4y = a
{ 3x + 6y = b
Finden und beschreiben Sie den geometrischen Zusammenhang mit der Matrix A :=
( 2 4 )
( 3 6 )
Welche Vektoren können aus einem Produkt A mal Vektor herauskommen? Welche nicht? (Skizze mit Beispielen)
Was spielt es für eine Rolle, dass A die Determinante 0 hat?

Aufgabe 2

Typischerweise gilt für Matrizen ja nicht AB = BA. Wenn aber A und B quadratisch sind und BA gleich der Einheitsmatrix ist, dann ist auch AB gleich der Einheitsmatrix. Begründen Sie das.
Tipp: Für alle Vektoren v gilt also: BAv = v. Wie kann man daraus eine Aussage über AB mal irgendeinen Vektor finden?
Folgerung aus dieser Tatsache: Die inverse Matrix A^-1 einer (regulären) Matrix A erfüllt mit A^-1 A = 1 automatisch auch A A^-1 = 1.